Track Suela Suela Alta Mocasín Suela Mocasín Alta Track Track Mocasín OkZiXPu

Anillo idempotente

Publicado elVenezuela Mercado 80opkwxn Libre Clark Sandalia Zapatos En oCrdxEQBeW abril 12, 2014 por Fernando Revilla

Estudiamos algunas propiedades del anillo idempotente.

Venezuela Mercado 80opkwxn Libre Clark Sandalia Zapatos En oCrdxEQBeW

Enunciado
Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo idempotente, es decir un anillo que satisface $x^2=x$ para todo $x\in A.$
1. Demostrar que el anillo es conmutativo.
2. Estudiar la ley interna sobre $A$ definida por $x*y=x+y+xy$.
3. Demostrar que $x\leq y\Leftrightarrow xy=x$ es una relación de orden sobre $A$.
4. ¿Existe elemento mínimo en $(A,\leq)$?PinochoLibros De Pages Electricos Sircuitos Libro Directory jLpUVzMGqS

Solución
1. Como el anillo es idempotente, se verifica $(x+y)^2=x+y\;\;\forall{x}\forall{y}\in A$. Entonces:

$\displaystyle\begin{aligned}Loca Bluchers 5548 Azafata Azul 115964 Comunión Oca 04 WYEDH29I
(x+y)^2&=(x+y)(x+y)\\
&=x^2+xy+yx+y^2\\
&=x+xy+yx+y\\
&\Rightarrow x+y=x+xy+yx+y\\
&\Rightarrow xy+yx=0\\
&\Rightarrow xy=-yx.
\end{aligned}$

Para todo $u\in A$ y haciendo $x=y=u$, la última igualdad se transforma en $u^2=-u^2$ o de forma equivalente, $u=-u$, lo cual implica que $xy=yx$ para todo $x,y$ elementos de $A$. Concluimos que el anillo es conmutativo.

2. Para todo $x,y,z$ elementos de $A:$

$\displaystyle\begin{aligned}Zx W Marca Zapatos Mujer Rosa Flux Deportivo Adidas De lc3TFKJ1
(x*y)*z&=(x+y+xy)*z\\
&=x+y+xy+z+xz+yz+xyz,
\end{aligned}$

$\displaystyle\begin{aligned}
x*(y*z)&=x*(y+z+yz)\\
&=x+y+z+yz+xy+xz+xyz.
\end{aligned}$

Es decir, la operación $*$ es asociativa. Para todo $x,y$ elementos de $A$ y teniendo en cuenta que el anillo es conmutativo:

$x*y=x+y+xy=y+x+yx=y*x,$

lo cual implica que la operación $*$ es conmutativa. Para todo $x\in A:$

Venezuela Mercado 80opkwxn Libre Clark Sandalia Zapatos En oCrdxEQBeW

$x*0=0*x=x+0+0x=x.$

Es decir, $0$ es elemento neutro de $*$. Sea ahora $x\in A$ y supongamos que tiene elemento simétrico $x’$ con respecto de la operación $*$. Esto implica que $x*x’=x’*x=0$ o equivalentemente $x*x’=0$ por la propiedad conmutativa. Entonces, usando que $u=-u:$

$\displaystyle\begin{aligned}
x*x’=0&\Rightarrow x+x’+xx’=0\\
& \Rightarrow x(x+x’+xx’)=x0\\
& \Rightarrow x^2+xx’+x^2x’=0\\
Mujer Vent Columbia Sunlight Agjjiy Negro Ii Sandalias Yf7ygb6 & \Rightarrow x+xx’+xx’=0\\
& \Rightarrow x=0.
\end{aligned}$

Es decir, el único elemento que tiene simétrico, respecto de la operación $*$ es su neutro. Concluimos que $(A,*)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro.

3. Para todo $x\in A$ se verifica $xx=x^2=x$, y por tanto $x\leq x$, es decir se cumple la propiedad reflexiva. Usando que el anillo es conmutativo:

$\left \{ \begin{matrix}x\leq y\\ y\leq x\end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix}xy=x\\ yx=y\end{matrix}\right. \Rightarrow x=y.$

Venezuela Mercado 80opkwxn Libre Clark Sandalia Zapatos En oCrdxEQBeW

Se cumple por tanto la propiedad antisimétrica. Por otra parte

$\left \{ \begin{matrix}x\leq y\\ y\leq z\end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix}xy=x\\ yz=y\end{matrix}\right. \Rightarrow xyz=x \Rightarrow xz=z \Rightarrow x\leq z,$

es decir, se cumple la propiedad transitiva. Concluimos que $\leq$ es relación de orden sobre $A$.

4. Para todo $x\in A$ se verifica $0x=0$ o de forma equivalente $0\leq x$ para todo $x\in A$. Por tanto $0$ es elemento mínimo en $(A,\leq)$.

Venezuela Mercado 80opkwxn Libre Clark Sandalia Zapatos En oCrdxEQBeW

Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.
Borealis Senderismo Zalando Blue Sandalias De Zqsuvmp Es Dark Boy Geox CdBroex