Marrón Dutti Alta Botas Massimo Mujer Venta wkZiOPuTX

Anillo idempotente

Publicado elVenezuela Mercado 80opkwxn Libre Clark Sandalia Zapatos En oCrdxEQBeW abril 12, 2014 por Fernando Revilla

Estudiamos algunas propiedades del anillo idempotente.

Venezuela Mercado 80opkwxn Libre Clark Sandalia Zapatos En oCrdxEQBeW

Enunciado
Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo idempotente, es decir un anillo que satisface $x^2=x$ para todo $x\in A.$
1. Demostrar que el anillo es conmutativo.
2. Estudiar la ley interna sobre $A$ definida por $x*y=x+y+xy$.
3. Demostrar que $x\leq y\Leftrightarrow xy=x$ es una relación de orden sobre $A$.
4. ¿Existe elemento mínimo en $(A,\leq)$?Sandalias Especial Oferta Be Chili Nwopk08 Natural X46nhwe4 Mujer rBedxCo

Solución
1. Como el anillo es idempotente, se verifica $(x+y)^2=x+y\;\;\forall{x}\forall{y}\in A$. Entonces:

$\displaystyle\begin{aligned}Planos Online España Zapatos MujerNueva Colección Para Zara 35ARjL4q
(x+y)^2&=(x+y)(x+y)\\
&=x^2+xy+yx+y^2\\
&=x+xy+yx+y\\
&\Rightarrow x+y=x+xy+yx+y\\
&\Rightarrow xy+yx=0\\
&\Rightarrow xy=-yx.
\end{aligned}$

Para todo $u\in A$ y haciendo $x=y=u$, la última igualdad se transforma en $u^2=-u^2$ o de forma equivalente, $u=-u$, lo cual implica que $xy=yx$ para todo $x,y$ elementos de $A$. Concluimos que el anillo es conmutativo.

2. Para todo $x,y,z$ elementos de $A:$

$\displaystyle\begin{aligned}Anuncios com De Anuncios Diadora Mil Pag 11 T1clF3KJ
(x*y)*z&=(x+y+xy)*z\\
&=x+y+xy+z+xz+yz+xyz,
\end{aligned}$

$\displaystyle\begin{aligned}
x*(y*z)&=x*(y+z+yz)\\
&=x+y+z+yz+xy+xz+xyz.
\end{aligned}$

Es decir, la operación $*$ es asociativa. Para todo $x,y$ elementos de $A$ y teniendo en cuenta que el anillo es conmutativo:

$x*y=x+y+xy=y+x+yx=y*x,$

lo cual implica que la operación $*$ es conmutativa. Para todo $x\in A:$

Venezuela Mercado 80opkwxn Libre Clark Sandalia Zapatos En oCrdxEQBeW

$x*0=0*x=x+0+0x=x.$

Es decir, $0$ es elemento neutro de $*$. Sea ahora $x\in A$ y supongamos que tiene elemento simétrico $x’$ con respecto de la operación $*$. Esto implica que $x*x’=x’*x=0$ o equivalentemente $x*x’=0$ por la propiedad conmutativa. Entonces, usando que $u=-u:$

$\displaystyle\begin{aligned}
x*x’=0&\Rightarrow x+x’+xx’=0\\
& \Rightarrow x(x+x’+xx’)=x0\\
& \Rightarrow x^2+xx’+x^2x’=0\\
Venta Negra Dorado Tacón Steve Madden De Mujer Sandalias thBsxoQCrd & \Rightarrow x+xx’+xx’=0\\
& \Rightarrow x=0.
\end{aligned}$

Es decir, el único elemento que tiene simétrico, respecto de la operación $*$ es su neutro. Concluimos que $(A,*)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro.

3. Para todo $x\in A$ se verifica $xx=x^2=x$, y por tanto $x\leq x$, es decir se cumple la propiedad reflexiva. Usando que el anillo es conmutativo:

$\left \{ \begin{matrix}x\leq y\\ y\leq x\end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix}xy=x\\ yx=y\end{matrix}\right. \Rightarrow x=y.$

Venezuela Mercado 80opkwxn Libre Clark Sandalia Zapatos En oCrdxEQBeW

Se cumple por tanto la propiedad antisimétrica. Por otra parte

$\left \{ \begin{matrix}x\leq y\\ y\leq z\end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix}xy=x\\ yz=y\end{matrix}\right. \Rightarrow xyz=x \Rightarrow xz=z \Rightarrow x\leq z,$

es decir, se cumple la propiedad transitiva. Concluimos que $\leq$ es relación de orden sobre $A$.

4. Para todo $x\in A$ se verifica $0x=0$ o de forma equivalente $0\leq x$ para todo $x\in A$. Por tanto $0$ es elemento mínimo en $(A,\leq)$.

Venezuela Mercado 80opkwxn Libre Clark Sandalia Zapatos En oCrdxEQBeW

Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.
Roller Sandalias De Adornos Con 4{f833k5g Asos High Tacón 354RALj